数学
数学
组合数
组合数 C(10,4) 表示从 10 个不同的元素中选出 4 个的不重复、无顺序的选法数。
C(n,k) = n! / (k! × (n - k)!)
所以：
C(10,4) = 10! / (4! × (10 - 4)!) = (10 × 9 × 8 × 7) / (4 × 3 × 2 × 1) = 5040 / 24 = 210
🧠 快速技巧（适合小数）：
你不一定要写全阶乘，直接写：
C(10,4) = (10 × 9 × 8 × 7) / (4 × 3 × 2 × 1)
分子写从 10 开始连续 4 个数，分母是 4 的阶乘。
🧮 你可以用计算器输入：
10 × 9 × 8 × 7 ÷ (4 × 3 × 2 × 1) = 210
📌 常见组合值速记：
| 表达式 | 值 |
|---|---|
| C(5,2) | 10 |
| C(6,3) | 20 |
| C(8,4) | 70 |
| C(10,3) | 120 |
| C(10,4) | 210 |
| C(10,5) | 252 |
错位排列
- 是指 “n 个元素全排列，且每个元素都不回到自己原位置” 的情况数。
- 比如剩余4人都不返回原公司，那么有多少种情况？
- D(4) = 4! * (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4!) = 9
错位排列数公式：
- D(n) = n! * (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)^n/n!)
- D(1) = 0! * (1 - 1/1!) = 0
- D(2) = 1! * (1 - 1/1! + 1/2!) = 1
- D(3) = 2! * (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3!) = 2
- D(4) = 3! * (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4!) = 9
- D(5) = 4! * (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! - 1/5!) = 44
- D(6) = 5! * (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! - 1/5! + 1/6!) = 265
- D(7) = 6! * (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! - 1/5! + 1/6! 1/7!) = 1854
- D(8) = 7! * (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! - 1/5! + 1/6! 1/7! + 1/8!) = 14833
几何
四边形周长固定，越接近于正方形面积则面积越大。比如周长100的时候，最大面积是25²=625。
容斥原理
某机关开展红色教育月活动，三个时间段分别安排了三场讲座。该机关共有 139 人，有 42 人报名参加第一场讲座，51 人报名参加第二场讲座，88 人报名参加第三场讲座，三场讲座都报名的有 12 人，只报名参加两场 讲座的有 30 人。问没有报名参加其中任何一场讲座的有多少人？
✅ 设集合
设：
- 总人数为 N = 139
- A：报名第一场的人数，|A| = 42
- B：报名第二场的人数，|B| = 51
- C：报名第三场的人数，|C| = 88
- 三场都报名的：|A ∩ B ∩ C| = 12
- 只报名参加两场讲座的有 30 人
✅ 目标
求没有报名参加任何一场的人数：
N - |A ∪ B ∪ C|
✅ 用容斥原理求 |A ∪ B ∪ C|
三集合容斥原理：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
某学校有 30 人喜欢篮球（A）、25 人喜欢足球（B）、20 人喜欢排球（C）；10 人既喜欢篮球又喜欢足球（A∩B），8 人既喜欢篮球又喜欢排球（A∩C），5 人既喜欢足球又喜欢排球（B∩C）；3 人三种球都喜欢（A∩B∩C）。求至少喜欢一种球的总人数。 代入公式：|A∪B∪C| = 30 + 25 + 20 - 10 - 8 - 5 + 3 = 55（人）。
两集合容斥原理：|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
某班有 20 人参加数学竞赛（A），15 人参加英语竞赛（B），其中 8 人同时参加两项（A∩B），求参加竞赛的总人数。 代入公式：|A∪B| = 20 + 15 - 8 = 27（人）。
我们知道：
- 三场都报名的 |A ∩ B ∩ C| = 12
- 只报两场的有 30 人，表示：
(|A ∩ B| + |A ∩ C| + |B ∩ C|) - 3 × |A ∩ B ∩ C| = 30
因为三场都报的人在每个两两交集中都算了一次，所以要减去 3 次交集。
✅ 解出两两交集之和
设两两交集之和：
x = |A ∩ B| + |A ∩ C| + |B ∩ C|
由上式得：
x - 3 × 12 = 30 → x = 66
✅ 代入容斥公式
|A ∪ B ∪ C| = 42 + 51 + 88 - 66 + 12 = 127
✅ 求没有报名的
没有报名的人数 = 139 - 127 = 12
✅ 答案：
12 人没有报名参加任何一场讲座
你这个"工程 容斥 年龄差"看起来像是指三类常见的数学/算法题型：
1. 工程问题
核心：已知多个人或机器的工作效率，求合作或单独完成任务的时间。
公式：
如果甲效率是 1/A（A小时完成1个工程），乙效率是 1/B，则合作效率：
1/A + 1/B
合作完成时间：
T = 总工作量 / 合作效率
例：
甲 5小时完成，乙 3小时完成，合作多久完成？
1/5 + 1/3 = 8/15 → T = 1 / (8/15) = 1.875 小时
2. 容斥原理
核心：处理集合的并集个数，避免重复计数。
公式（两个集合）：
|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
三个集合：
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|
例：
班里会英语的 20 人，会法语的 15 人，会两者的 5 人，至少会一种的有多少人？
20 + 15 - 5 = 30
3. 年龄差问题
核心：利用年龄差是恒定的这一性质，建立方程。
常见思路：
- "x 年前/后"年龄差不变
- 比例问题：几年后年龄比是多少
例：
父亲 42 岁，儿子 14 岁。多少年前父亲是儿子的 3 倍大？ 设 t 年前：
42 - t = 3(14 - t)
42 - t = 42 - 3t → 2t = 0 → t = 0
说明现在就是 3 倍。
图形
- 周长为 P 的四边形中，面积最大的是正方形，最大面积为 P²/16
抽屉原理
- 抽屉原理：如果把 n+1 个物体放入 n 个抽屉，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的物体。
- 红、黄、绿三种颜色的手套各 6 双，装在一个黑色布袋里，从袋子里任意取出手套来，为确保至少有 2 双手套不同颜色，则至少要取出的手套只数是？
- 15只，因为，最不利的情况是先取完其中一种颜色的全部 12 只手套，再从剩下两色中取3只手套，这只手套一定是另一种颜色的。
方阵
- 在正方形方阵（比如这里的正方形会议室铺砖）的最外层数量问题中，当每边有n个元素（这里是n块砖）时，最外层的总数量公式为4(n−1)。这是因为正方形有 4 条边，若直接用4n计算，四个角的元素会被重复计算一次